Factorisation angle moitié - Corrigé

Énoncé

Soit \(x \in \left]0 \ ; 2\pi \right[\) .

1. En factorisant par \(\text e^{i\frac{x}{2}}\) , déterminer le module et un argument de \(a=1+\text e^{ix}\) et de \(b=1-\text e^{ix}\) .

2. Montrer que \(\dfrac{a}{b}\) est un nombre imaginaire pur.

Solution

1.  D'une part : \(\begin{align*}a=1+\text e^{ix}=\text e^{\frac{ix}{2}}\left(\text e^{-\frac{ix}{2}}+\text e^{\frac{ix}{2}}\right)=\text e^{\frac{ix}{2}} \times 2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\end{align*}\)
donc \(\left\vert a \right\vert = 2 \left\vert \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \right\vert et \arg(a) \equiv \left\lbrace \begin{array}{ll}\dfrac{x}{2} \ [2\pi] & \text{ si } \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \geqslant 0 \text{ c'est-à-dire ici } x \in \left]0 \ ; \pi \right],\dfrac{x}{2}+\pi \ [2\pi] & \text{ si } \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \leqslant 0 \text{ c'est-à-dire ici } x \in \left[\pi \ ; 2\pi \right[.\end{array} \right.\)

D'autre part : \(\begin{align*}b=1-\text e^{ix}=\text e^{\frac{ix}{2}}\left(\text e^{-\frac{ix}{2}}-\text e^{\frac{ix}{2}}\right)=-\text e^{\frac{ix}{2}}\left(\text e^{\frac{ix}{2}}-\text e^{\frac{-ix}{2}}\right)& =-\text e^{\frac{ix}{2}} \times 2i\sin\left(\frac{x}{2}\right)\\& =\text e^{i\pi} \times \text e^{\frac{ix}{2}} \times \text e^{\frac{i\pi}{2}} \times 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\\& =\text e^{\frac{i(x+3\pi)}{2}} \times 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\end{align*}\)
donc \(\left\vert b \right\vert = 2 \left\vert \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \right\vert\) et \(\arg(b) \equiv \dfrac{x+3\pi}{2} \ [2\pi]\)   car, pour tout \(x \in \left]0 \ ; 2\pi \right[\) , on a \(\frac{x}{2} \in \left]0 \ ; \dfrac{\pi}{2} \right[\) et donc \(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)>0\) .

2. D'après la question précédente,
\(\begin{align*}\frac{a}{b}& = \frac{\text e^{\frac{ix}{2}} \times 2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\text e^{\frac{i(x+3\pi)}{2}} \times 2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}= \text e^{\frac{3i\pi}{2}} \times \frac{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}= -i \times \frac{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}\end{align*}\)

avec \(\frac{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)} \in \mathbb{R}\) , donc \(\dfrac{a}{b}\) est un imaginaire pur.